Você é apresentado a um desafio. Pensa, pensa, tenta, erra, conserta, pensa mais um pouco… até que descobre uma solução! Seria esse o fim da investigação? Se você quer explorar este desafio com profundidade, eu diria que a resposta é não.
Um ótimo hábito matemático para que as crianças (e os adultos) aprendam ainda mais e de forma sólida, é refletir sobre o desafio que acabou de ser resolvido. Será que existe apenas essa solução? Se não, quantas outras existem? E independente disso, será que é possível resolver seguindo outros caminhos, utilizando outros conceitos e ideias? Ou ainda, seria possível representar essa solução de diferentes maneiras - texto, desenho, tabelas, fórmulas?
É rico poder seguir por caminhos completamente distintos e chegar ao mesmo destino. Isso permite que se construa relações profundas entre áreas diferentes da matemática, para que sejamos mais flexíveis na hora de resolver um problema. Essa é uma discussão que já foi feita por George Pólya no seu livro “A Arte de Resolver Problemas”, e que nos orienta, aqui na Roda, na hora de escolher desafios para as nossas aulas.
Nesta semana publicamos no Instagram um desafio que despertou a curiosidade de alguns seguidores, que apresentaram várias soluções diferentes. No post de hoje vamos nos dedicar a explorar algumas destas formas distintas de resolver um mesmo desafio, tentando mostrar a riqueza em aprendizados que um desafio ainda possui após uma primeira solução. E caso você não tenha resolvido antes, pense um pouco antes de continuar ;-)
Solução 1: Contar
Pode parecer trabalhoso, mas contar cada um dos quadradinhos é uma solução totalmente válida! Com essa estratégia, é possível contar 55 quadradinhos azuis e 45 quadradinhos vermelhos, o que mostra que a maioria são azuis. Contar pode nos dar segurança, e ser uma ótima primeira abordagem para que, posteriormente, outras soluções sejam descobertas.
Solução 2: Linhas e colunas
Se olharmos os quadradinhos separadamente por linhas ou colunas, pode ser observado um padrão na contagem - os quadradinhos azuis vão de 1 a 10, enquanto os vermelhos vão de 0 a 9. Com isso, mesmo sem saber quantos são, é possível perceber que existem mais azuis. Reconhecer esses padrões por linhas e colunas permite inclusive que se utilize a soma de progressões aritméticas, facilitando a descoberta das quantidades exatas de cada cor.
Solução 3: Simetria
Também é possível resolver o problema sem nem ao menos pensar em números! Observando que existe uma simetria entre as figuras de cada um dos retângulos destacados, sabemos que as quantidades de quadradinhos azuis e vermelhos são idênticas dentro de cada um. Como sobraram alguns quadradinhos azuis para fora dos retângulos, são mais azuis no total.
Solução 4: Comparação
É possível comparar algumas linhas, de forma a compensar a quantidade, escolhendo duas linhas que tenham quantidades opostas de quadradinhos de cada cor, de forma que assim elas se compensam na quantidade total. Utilizando esta estratégia, ao final do desafio o que sobram são 15 quadradinhos azuis e 5 vermelhos, o que garante a maior quantidade de quadradinhos azuis. Essa compensação também pode ser feita por colunas.
Solução 5: Movimento
Movimentar os quadradinhos mentalmente também pode ser útil. Ao levar todos os vermelhos para a esquerda (imagem à esquerda), vemos duas figuras semelhantes, de modo que a azul possui uma base maior - e portanto, possui mais quadradinhos. Ao empurrar todos os quadrados azuis para a direita ainda no quadrado (imagem à direita), ocupando o restante do espaço com os quadradinhos vermelhos, vemos duas figuras similares à escadas, em que a escada azul possui uma área maior - e logo, mais quadradinhos.
Comparação de áreas, transformações geométricas, contagens e sequências, todos conceitos de um mesmo desafio, que aparecem de acordo com a forma que você escolhe analisá-lo. Isso sem contar todas as outras soluções que ainda não descobrimos - mas podemos descobrir investindo um pouco mais de tempo e esforço. Vamos adorar descobrir novos caminhos, então deixem aqui nos comentários!
E por fim, mas não menos importante, esperamos que todas essas soluções sejam lembretes de que um desafio é muito mais que uma solução.
Espero que tenham gostado dessa investigação!
Um abraço,
Jean Rocatelli - graduado e mestrando em matemática (IME-USP) e do Time da Roda de Matemática.