A ilha de Smullyan

Este mês faleceu, aos 97 anos, Raymond Smullyan, o lógico e matemático americano que ficou mundialmente conhecido por seus incríveis desafios lógicos. Nosso desafio desta semana é em sua homenagem: "Em uma ilha fictícia, todos os habitantes ou são cavaleiros, que sempre dizem a verdade, ou malandros, que sempre mentem. William e Edward são habitantes dessa ilha. William diz: 'Nós dois somos cavaleiros'." Quem é o quê?

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Será possível que as engrenagens rodem todas juntas?

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Resposta: Note que, numa série de engrenagens, se a primeira estiver girando em sentido horário, a seguinte estará girando em sentido anti-horário. O sentido mudará a cada nova engrenagem: as engrenagens ímpares da sequência girarão em um sentido (horário, por exemplo) e as pares no sentido contrário. Agora, podemos pensar no desafio acima que mostra um "ciclo" de engrenagens. Temos um número impar de engrenagens (11), se girarmos uma delas (1) em sentido horário, a última (11) girará no mesmo sentido e, portanto, não poderá conectar-se à primeira. Assim, não é possível que as 11 engrenagens rodem simultaneamente. A conclusão geral é que um ciclo de engrenagens como o da figura acima só rodará com um número par de engrenagens.

Como separar 4 litros de água?

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Resposta: Esse desafio remonta ao matemático renascentista Tartaglia, nascido em 1500. A solução mais curta que encontramos foi a seguinte: a partir da posição inicial, 8-0-0, fazemos os seguintes movimentos: 3-5-0 (da jarra 1 para 2); 3-2-3 (da jarra 2 para 3); 6-2-0 (da jarra 3 para 1); 6-0-2 (da jarra 2 para 3); 1-5-2 (da jarra 1 para 2) e, finalmente, 1-4-3 (da jarra 2 para 3). Se você encontrou uma solução ainda mais curta, mande por e-mail pra gente :-)

Qual a probabilidade de ver um rei?

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Resposta: Esse desafio matemático é interessante por ser contraintuitivo. Apesar de existirem apenas dois reis entre as seis cartas, é mais provável que se observe "pelo menos um rei" ao virar duas das cartas aleatoriamente. Uma forma de ver isso é enumerar todas as possíveis combinações de cartas (são 15 possíveis pares). Se, por exemplo, as cartas 1 e 2 são os reis, os seguintes pares contém pelo menos um rei: {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)}. Assim, dos 15 casos possíveis, 9 terão pelo menos um rei (9/15 = 0,60) e 6 não terão nenhum rei (6/15 = 0,40).

Outra forma de pensar é a seguinte: a chance de não sortearmos um rei na primeira carta será 4/6 (quatro possibilidades entre as seis cartas). Após esse sorteio, restando cinco cartas, a chance da segunda carta também não ser um rei é de 3/5 (três possibilidades entre as cinco restantes). Assim, a probabilidade do evento "nenhum rei" será 4/6 x 3/5 = 6/15 = 0,40. A probabilidade de "pelo menos um rei" será então 1 - 0,40  = 0,60.